ക്ലോക്കും - അതിന്‍റെ കോണളവും

നാം മത്സര പരീക്ഷകളില്‍ ഏറ്റവും പ്രയാസമെന്നു കരുതുന്ന ഒരു മേഖലയാണ് ഗണിതവും മെന്‍റല്‍ എബിലിറ്റിയും. എന്നാല്‍ ഏറ്റവും ലളിതവും 100% മാര്‍ക്ക്‌ നേടാവുന്നതുമായ ഒരു മേഖലയാണിത് . ഇന്ന് നമ്മള്‍ പരിചയപ്പെടാന്‍ പോകുന്നത് 'ക്ലോക്കും - അതിന്‍റെ കോണളവും'.

ഒരു വൃത്തത്തിന്‍റെ കോണളവ് 360 ഡിഗ്രിയാണ്. ക്ലോക്കിന്‍റെ ഡയലിലെ വൃത്തത്തെ 12 ആയി ഭാഗിച്ചിട്ടുണ്ട് - അതായത് മണിക്കൂര്‍ ഇടവേള. അപ്പോള്‍ ഓരോ മണിക്കൂര്‍ തമ്മിലുള്ള കോണളവ് 360/12 = 30 ഡിഗ്രിയാണ്.


Fig. 1

ഓരോ മണിക്കൂര്‍ ഇടവേളയേയും 5 ആയി വീണ്ടും ഭാഗിച്ചിട്ടുണ്ട് -അതായത് മിനിറ്റ് ഇടവേള . അപ്പോള്‍ ഓരോ മിനിറ്റും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് 30/5 = 6 ഡിഗ്രിയാണ്.


Fig. 2

ഇനിയാണ് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത്. മിനിറ്റ് സൂചി ഒരു മിനിറ്റ് സഞ്ചരിച്ചാല്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 1/2 ഡിഗ്രി തിരിയും.
നമുക്ക് ഇവിടെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. സമയം 7:20 ആകുമ്പോള്‍ സൂചികള്‍ തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണെന്ന് നോക്കാം .

Fig. 3

ഇവിടെ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 7 നു നേര്‍ക്കും , മിനിറ്റ് സൂചി 4 നു നേര്‍ക്കും ആണെന്നു കരുതുക. അപ്പോള്‍ ഇവ തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ് ?

Fig 4

30+30+30 = 90 ഡിഗ്രി
എന്നാല്‍ സമയം 7:20 ആകുമ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 7 നു നേര്‍ക്ക്‌ ആയിരിക്കില്ല ഇരിക്കുന്നത്. അത് 7 നും 8 നും ഇടയിലായിരിക്കും. കാരണം ഇവിടെ മിനിറ്റ് സൂചി 20 മിനിറ്റ് സഞ്ചരിച്ചു. അപ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 10 ഡിഗ്രി സഞ്ചരിച്ചു , കാരണം മിനിറ്റ് സൂചി ഒരു മിനിറ്റ് സഞ്ചരിച്ചാല്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 1/2 ഡിഗ്രി തിരിയണം. അപ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 7 നു നേര്‍ക്ക്‌ നിന്ന് 10 ഡിഗ്രി മാറിയാണ് നില്‍ക്കുന്നത്. അപ്പോള്‍ നേരത്തെ കണ്ടു പിടിച്ച 90 ഡിഗ്രിയുടെ കൂടെ ഈ 10 ഡിഗ്രി കൂടി കൂട്ടണം. അപ്പോള്‍ 7:20 സമയത്തിന്‍റെ കോണളവ് കിട്ടും . അതായത് 90+10 = 100 ഡിഗ്രി .

ഇനി മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. സമയം 4:40 ആകുമ്പോള്‍ ഉള്ള കോണളവ് എത്രയാണെന്ന് നോക്കാം.

Fig. 5

ഇവിടെ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 4 നു നേര്‍ക്കും മിനിറ്റ് സൂചി 8 നു നേര്‍ക്കും ആണെന്ന് കരുതുക.

Fig. 6

അപ്പോള്‍ ഇവ തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ്?

30+30+30+30=120 ഡിഗ്രി. പക്ഷെ യഥാര്‍തഥത്തില്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി 4 നു നേര്‍ക്കാണോ ? അത് 4 നും 5 നും ഇടയിലാണ് . മണിക്കൂര്‍ സൂചി എത്ര ഡിഗ്രി മാറിയെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ 40 മിനിറ്റിന്‍റെ പകുതി എടുത്താല്‍ മതി, അതായത് 40/2 = 20 ഡിഗ്രി . ഇനിയാണ് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത്. കഴിഞ്ഞ ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച് നമ്മള്‍ ഈ 20 ഡിഗ്രി 120 ഡിഗ്രിയുടെ കൂടെ കൂട്ടി 140 ഡിഗ്രി ആണെന്ന് കരുതും. എന്നാല്‍ ഇവിടെ നമ്മള്‍ 120 ഡിഗ്രിയില്‍ നിന്നും 20 ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കുകയാണ് വേണ്ടത് .
120 - 20 = 100 ഡിഗ്രി

ഈ രണ്ടു ഉദാഹരണവും നമ്മള്‍ക്ക് പരിശോധിക്കാം. 7:20 ആകുമ്പോള്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി മിനിറ്റ് സൂചിയില്‍ നിന്ന് അകന്നു പോവുകയാണ് (clockwise direction). ഇവിടെ മണിക്കൂര്‍ സൂചിയാണ് 12 എന്ന സംഖ്യയോട് അടുത്തു നില്‍ക്കുന്നത് . അത് കൊണ്ട് അവിടെ കൂട്ടണം.

Fig. 7

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തില്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചി മിനിറ്റ് സൂചിയോട് അടുക്കുകയാണ് ചെയ്യുന്നത് (Clockwise direction). ഇവിടെ മിനിറ്റ് സൂചിയാണ് 12 എന്ന സംഖ്യയോട് അടുത്തു നില്‍ക്കുന്നത് . അത് കൊണ്ട് അവിടെ കുറയ്ക്കണം .

Fig.8

അപ്പോള്‍ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയാണ് 12 എന്ന സംഖ്യയോട് അടുത്തു നില്‍ക്കുന്നത് എങ്കില്‍ കൂട്ടണം, മിനിറ്റ് സൂചിയാണ് 12 എന്ന സംഖ്യയോട് അടുത്തു നില്‍ക്കുന്നത് എങ്കില്‍ കുറയ്ക്കണം.

Practice Problem

1. Find out the angle of the following time

• 6:35
• 4:15
• 2:10
• 12:15
• 3:15
• 8:30
• 8:45

സാധാരണയായി മത്സര പരീക്ഷകളില്‍ കാണാവുന്ന ഒരു ചോദ്യമാണ് കണ്ണാടിയിലെ (Mirror) പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം തന്നിട്ട് യഥാര്‍ത്ഥ സമയം കണ്ടെത്താന്‍ , അല്ലെങ്കില്‍ യഥാര്‍ത്ഥ സമയം തന്നിട്ട് കണ്ണാടിയിലെ പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ . വളരെ ലളിതവും എന്നാല്‍ തെറ്റിക്കാവുന്നതുമായ ഒരു ചോദ്യമാണിത് .
നമുക്ക് ഇവിടെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
കണ്ണാടിയിലെ പ്രതിബിംബത്തില്‍ സമയം 3:15 ആണെങ്കില്‍ യഥാര്‍ത്ഥ സമയം എത്രയാണ് ?
ഇങ്ങനെ ഏത് സമയം തന്നാലും ആ സമയത്തെ 23:60 ഇല്‍ നിന്ന് കുറച്ചാല്‍ മതി.
അതായത്

23:60
- 03:15
__________
20:45

അപ്പോള്‍ യഥാര്‍ത്ഥ സമയം 8: 45 or (20:45 - 24 hour format) ആണ് .
ഇവിടെ ഉത്തരം ലഭിച്ചിരിക്കുന്നത് റെയില്‍വേ ടൈം ഫോര്‍മാറ്റില്‍ ആണ് (24 hour format).
അതിനെ 12 - hour ഫോര്‍മാറ്റില്‍ ആക്കിയാല്‍ ഉത്തരം ലഭിക്കും.
Practice Problems

• 2:15
• 3:40
• 10:10
• 12:05
• 5:55

ഇനി ക്ലോക്കിന്റെ മേഖലയില്‍ നിന്ന് ചോദിക്കാവുന്ന മറ്റൊരു ചോദ്യമാണ് , ഒരു മണിക്കൂര്‍ ഇടവേളയില്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും എപ്പോഴാണ് ഒന്നിക്കുന്നത് . നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
6 മണിക്കും 7 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് കൃത്യം എത്ര മണിക്കാണ് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും ഒന്നിക്കുന്നത് ?

ഇതിനു ഒരു സൂത്രവാക്യമുണ്ട് .
ക്ലോക്കില്‍ x മണിക്കും (x+1) മണിക്കും ഇടയില്‍ രണ്ടു സൂചിയും ഒന്നിക്കുന്നത് ആയിരിക്കും.
അപ്പോള്‍ മുകളിലത്തെ ചോദ്യത്തിന് ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം.
6 മണിക്കും 7 മണിക്കും ഇടയില്‍ സൂചികള്‍ ഒന്നിക്കുന്നത്

Practice Problems

• 2 മണിക്കും 3 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് കൃത്യം എത്ര മണിക്ക് രണ്ടു സൂചിയും ഒന്നിക്കും?
• 8 മണിക്കും 9 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് കൃത്യം എത്ര മണിക്ക് രണ്ടു സൂചിയും ഒന്നിക്കും?
  

ഇനി ക്ലോക്കിന്റെ മേഖലയില്‍ നിന്ന്‍ ചോദിക്കാവുന്ന മറ്റൊരു ചോദ്യമാണ് , ഒരു മണിക്കൂര്‍ ഇടവേളയില്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും എപ്പോഴാണ് 90 ഡിഗ്രിയില്‍ വരുന്നത്.
ഇതിനു ഒരു സൂത്രവാക്യമുണ്ട് .
ക്ലോക്കില്‍ a മണിക്കും (a +1 ) മണിക്കും ഇടയില്‍ രണ്ടു സൂചികള്‍ 90 ഡിഗ്രിയില്‍ വരുന്നത്

ആയിരിക്കും.


നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
5 മണിക്കും 6 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് രണ്ടു സൂചികളും കൃത്യമായി 90 ഡിഗ്രിയില്‍ വരുന്നത് എപ്പോള്‍?

5 മണിക്കും 6 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് സൂചികള്‍ കൃത്യമായി രണ്ടു പ്രാവശ്യം 90 ഡിഗ്രിയില്‍ വരും.

അത് എപ്പോഴാണ് വരുന്നത് എന്ന് ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം
90 ഡിഗ്രി വരുന്ന ആദ്യത്തെ സമയം

90 ഡിഗ്രി വരുന്ന രണ്ടാമത്തെ സമയം
Practice Problems

• 8 മണിക്കും 9 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് രണ്ടു സൂചികളും കൃത്യമായി 90 ഡിഗ്രിയില്‍ വരുന്നത് എപ്പോള്‍ ?
• 3 മണിക്കും 4 മണിക്കും ഇടയ്ക്ക് രണ്ടു സൂചികളും കൃത്യമായി 90 ഡിഗ്രിയില്‍ വരുന്നത് എപ്പോള്‍ ?

ഇനി ക്ലോക്കിന്റെ മേഖലയില്‍ നിന്ന് ചോദിക്കാവുന്ന മറ്റൊരു ചോദ്യമാണ് , ഒരു മണിക്കൂര്‍ ഇടവേളയില്‍ മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും എതിര്‍ദിശയില്‍ ( 180 ഡിഗ്രി ) എപ്പോഴാണ് വരുന്നത് ?

ഇതിനു ഒരു സൂത്രവാക്യമുണ്ട് . ക്ലോക്കില്‍ a മണിക്കും (a+ 1 ) മണിക്കും ഇടയില്‍ രണ്ടു സൂചികള്‍ 180 ഡിഗ്രിയില്‍ വരുന്നത്

ആയിരിക്കും . ഇതില്‍ a, 6 നേക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ ആവുമ്പോഴാണ് - (ന്യുന ചിഹ്നം) ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്. 6 നേക്കാള്‍ കുറവ് ആവുമ്പോള്‍ + ( അധിക ചിഹ്നം ) ഉപയോഗികേണ്ടത്.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
4 മണിക്കും ശേഷം ക്ലോക്കില്‍ 2 സൂചികളും എതിര്‍ദിശയില്‍ വരുന്നത് എപ്പോള്‍ ?

മുകളില്‍ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഇതിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാം .


ഇവിടെ സമയം 6 നേക്കാള്‍ കുറവായതു കൊണ്ട് അധികം ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് .
Tips

1. ഒരു ദിവസം ക്ലോക്കിലെ മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും എതിര്‍ദിശയില്‍ (180 ഡിഗ്രിയില്‍ ) വരുന്നത് 22 പ്രാവശ്യമാണ് .
2. ഒരു ദിവസം ക്ലോക്കിലെ മണികൂര്‍ സൂചിയും മിനിറ്റ് സൂചിയും ഒന്നിക്കുന്നത് (0 ഡിഗ്രിയില്‍ ) 22 പ്രാവശ്യമാണ് .
3. ഓടാത്ത് ഒരു ക്ലോക്ക് ഒരു ദിവസം 2 പ്രാവശ്യം കൃത്യ സമയം കാണിക്കും.
4. ഏത് സമയത്തിന്റെയും കോണളവ് കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഒരു സുത്രവാക്യം ഉണ്ട്
   

±x = {60H − 11M}/2

ഇവിടെ H മണിക്കുറും M മിനുട്ടുമാണ് .

നിങ്ങളുടെ സംശയങ്ങളും വിലയേറിയ അഭിപ്രായങ്ങളും നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളും രേഖപ്പെടുത്തുക .....